Математика Метод Гаусса Предел функции Точка разрыва функции Координаты вектора Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка

Математика задачи примеры решения

Выпуклость и вогнутость графика функции

Точки перегиба

График дифференцируемой функции у = f(x) называется выпуклым (вогнутым) в интервале (а,b), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции, отделяющая ее выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Теорема 5. (достаточный признак выпуклости и вогнутости). Пусть функция у = f(x) имеет вторую производную (x) во всех точках интервала (а, b). Если во всех точках этого интервала < 0, то график в (а, b) выпуклый; если же > 0 – вогнутый.

Доказательство. Допустим для определенности, что< 0 и докажем, что гра­фик выпуклый. Возьмем на графике функции произвольную точку М0 с абсциссой х0Î (а, b) и проведем через точку М0 касательную. Для доказательства теоремы нужно показать, что для одной и той же абсциссы x ордината кривой меньше ординаты касательной. Это будет означать, что график функции нахо­дится ниже касательной. Уравнение касательной в точке М0 имеет вид У – f (х0) = f (х0).(х-х0). Здесь через У обозначена ордината касательной, соот­ветствующая абсциссе x. Обратные тригонометрические функции математика решение задач

Разность ординат графика и касательной при одной и той же абсциссе x равна

или

Применяя к разности f(х) -f(х0) формулу Лагранжа, получаем

  где c заключено между х и х0. Пример. Вычислить тройной интеграл J = , где : y = x, y = 0, x = 1, z =, z = 0.

К разности тоже применим формулу Лагранжа, получим

, где c1 заключено между х0 и c, а, следовательно, между х0 и х. По условию (x)< 0 в интервале (а; b),значит (c1)< 0. Разности х- х0 и c – х0 одного знака, так как c заключено между х0 и х, значит (х- х0)(c – х0)> 0.

Поэтому у – У < 0 или у <У. Мы доказали, что для любой точки x интервала (а, b) ордината касательной больше ординаты графика, то есть график выпуклый. Аналогично доказывается, что при > 0 график вогнутый.

Теорема ( достаточный признак существования точки перегиба). Если вторая производная непрерывной функции меняет знак при переходе аргумента через точку х0, то точка (х0; f(х0)) является точкой перегиба графика функции. Асимптотой графика функции у = f(x) называется прямая, расстояние от которой до текущей точки графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

План исследования функции и построение графика

Пример . Исследовать функцию y= x-2arctgx и построить ее график.

Пример . Исследовать функцию и построить ее график.


Векторная алгебра и аналитическая геометрия