Вычисление производной Производные высших порядков Дифференциал функции Теорема Ферма Выпуклость и вогнутость графика функции Вычислить определитель

Математика задачи примеры решения

Координаты вектора

Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат Oxyz. Обозначим , ,  – единичные векторы, направленные соответственно вдоль осей Ox, Oy, Oz (орты осей). Эти векторы называются декартовым прямоугольным базисом в пространстве.

Пусть  – произвольный вектор в пространстве. Перенесем его начало в точку O ( ) и построим прямоугольный параллелепипед, в котором вектор  является диагональю (рис. 11). Тогда , где , , – составляющие вектора  по осям Ox, Oy, Oz. Но , аналогично ,

.

 

Рис. 11

Обозначая , , , получим . Свойства векторного произведения.

Это равенство называется разложением вектора  по базису , , , а числа , ,  называются координатами вектора  в этом базисе, или декартовыми прямоугольными координатами вектора. Пишут  или .

Таким образом, прямоугольные декартовы координаты вектора – это его проекции на соответствующие оси координат.

Зная координаты вектора, легко выразить его длину:

 (2.2)

(квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений).

Если , где , , то , , . Тогда , или

  (2.3)

так выражаются координаты вектора через координаты его начала и конца.

Из свойств проекций (а координаты вектора – это его проекции на оси координат) следует:

если , , , то

1) , , – равные векторы имеют соответственно равные координаты;

2)  – при сложении векторов их координаты складываются, при вычитании – вычитаются;

3)  – при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число;

4) , , , то есть   (2.4)

координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Направляющие косинусы вектора Направление вектора в пространстве определяется углами , которые вектор образует с осями координат. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора: , , .

Деление отрезка в данном отношении

Пример. Даны вершины треугольника , , . Найти точку пересечения медиан этого треугольника и орт вектора

Пример. Показать, что точки , , лежат на одной прямой, причем A – между B и C.


Дифференциальное исчисление