Вычисление производной Производные высших порядков Дифференциал функции Теорема Ферма Выпуклость и вогнутость графика функции Вычислить определитель

Математика задачи примеры решения

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов (обозначается или ) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: , где .

Учитывая, что , , можно записать: . Отсюда

. (2.8)

Из физики известно: если – постоянная сила, действующая на материальную точку, а  – вектор перемещения точки под действием этой силы, то работа, совершаемая силой  на участке l, равна .

Свойства скалярного произведения:

1)     ;

2)     ;

3)     ;

4)     , или , или .

Таким образом,  – условие перпендикулярности векторов.

5)          , или, обозначая  (скалярный квадрат вектора ), получим , откуда .

Пусть известны координаты векторов  и : , .

Тогда  

Таким образом,

. (2.9)

Пример. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

Смешанное произведение векторов Смешанным, или векторно-скалярным произведением трех векторов (обозначается ) называется произведение вида .

Теорема. Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Прямая на плоскости Пусть – заданная точка на прямой , – вектор, перпендикулярный прямой , его называют нормальным вектором прямой, и пусть – произвольная точка прямой . Пусть – заданная точка на прямой , – вектор, параллельный прямой, его называют направляющим вектором прямой, и пусть – произвольная точка прямой Пусть заданная точка на прямой , – угол наклона прямой к оси ,

Угол между двумя прямыми. Пусть прямые и заданы соответственно уравнениями , , где ,

Расстояние от точки до прямой. Пусть прямая на плоскости задана уравнением и точка имеет координаты

Пример. Прямая задана уравнением . Составить уравнения а) прямой , проходящей через точку параллельно прямой ; б) прямой , проходящей через начало координат перпендикулярно прямой .

Пример. В треугольнике с вершинами , , составить уравнения медианы , высоты , найти длину высоты


Дифференциальное исчисление